费马大定理

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费马大定理，也称费马最后定理（法语：Le dernier théorème de Fermat），其概要为：

当整数时，关于, , 的不定方程

没有正整数解

以上陈述由17世纪法国数学家费马提出，一直被称为“费马猜想”，直到英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew John Wiles）及其学生理查·泰勒（Richard Taylor）于1995年将他们的证明出版后，才称为“费马大定理”。这个猜想最初出现费马的《页边笔记》中。尽管费马同时表明他已找到一个绝妙的证明而页边没有足够的空位写下，但仍然经过数学家们三个多世纪的努力，猜想才变成了定理。在冲击这个数论世纪难题的过程中，无论是不完全的还是最后完整的证明，都给数学界带来很大的影响；很多的数学结果、甚至数学分支在这个过程中诞生了，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗瓦理论和赫克代数等。这也令人怀疑当初费马是否真的找到了正确证明。而安德鲁·怀尔斯由于成功证明此定理，获得了2005年度邵逸夫奖。

目录

• 1 历史
• 2 年表
• 3 证明
• 4 参见
• 5 参考资料
• 6 外部链接

历史

1637年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：

“

将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下^[1]。

”

毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。
费马大定理提出之后的二百年内，对很多不同的特定的，费马定理早被证明了。但对于一般情况，人们仍一筹莫展。
1908年，德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。在一战之后，马克大幅贬值，该奖金的吸引力也大幅下降。
1983年，格尔德·法尔廷斯证明了莫德尔猜想（Faltings' theorem）。作为推论，对于给定的整数，至多存在有限组互素的使得。
1986年，Gerhard Frey 提出了“ε-猜想（Epsilon conjecture）”：若存在使得，即如果费马大定理是错的，则椭圆曲线

会是谷山-志村猜想的一个反例。Frey的猜想随即被Kenneth Ribet证实。此猜想显示了费马大定理与椭圆曲线及模形式的密切关系。
1995年，安德鲁·怀尔斯和理查·泰勒在一特例范围内证明了谷山志村猜想，Frey的椭圆曲线刚好在这一特例范围内，从而证明了费马大定理。
怀尔斯证明费马大定理的过程亦甚具戏剧性。他用了七年时间，在不为人知的情况下，得出了证明的大部分；然后于1993年6月在一个学术会议上宣布了 他的证明，并瞬即成为世界头条。但在审批证明的过程中，专家发现了一个极严重的错误。怀尔斯和泰勒然后用了近一年时间尝试补救，终在1994年9月以一个 之前怀尔斯抛弃过的方法得到成功，这部分的证明与岩泽理论有关。他们的证明刊在1995年的《数学年刊》（Annals of Mathematics）之上。

年表

1770年，欧拉证明时定理成立^[2]
1823年，勒让德证明时定理成立。
1839年，拉梅证明时定理成立。
1850年，库默尔证明时定理成立。
1955年，范迪维尔以电脑计算证明了时定理成立。
1976年，瓦格斯塔夫以电脑计算证明了时定理成立。
1985年，罗瑟以电脑计算证明了时定理成立。
1987年，格朗维尔以电脑计算证明了时定理成立。
1995年，怀尔斯证明时定理成立。

证明

费马大定理的证明涉及好几个近代的数学分支，包括代数数论中的椭圆曲线和模形式，以及群论中的伽罗瓦理论。